Vorbemerkung

• Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kontexte (z. B.Besucherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Personaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktion verliehen.
• Die Bestimmung der extremalen Steigung erfolgt zunächst über das Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ableitung).
• Zu Beginn des Unterrichtsvorhabens "Exponentialfunktionen" sollte eine Auffrischung der bereits in der Einführungsphase erworbenen Kompetenzen durch eine arbeitsteilige Untersuchung verschiedener Kontexte z. B. in Gruppenarbeit mit Präsentation stehen (Wachstum und Zerfall).
• Im Anschluss werden die Eigenschaften einer allgemeinen Exponentialfunktion zusammengestellt. Der GTR unterstützt dabei die Klärung der Bedeutung der verschiedenen Parameter und die Veränderungen durch Transformationen.
• Die Eulersche Zahl kann z. B. über das Problem der stetigen Verzinsung eingeführt werden. Der Grenzübergang wird dabei zunächst durch den GTR unterstützt.
• Die Frage nach der Ableitung an einer Stelle führt zu einer vertiefenden Betrachtung des Übergangs von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate. In einem Tabellenkalkulationsblatt wird für immer kleinere h das Verhalten des Differenzenquotienten beobachtet.
• Umgekehrt suchen die Lernenden zu einem gegebenen Ableitungswert die zugehörige Stelle.
• Dazu könnten sie eine Wertetabelle des Differenzenquotienten aufstellen, die sie immer weiter verfeinern oder in der Grafik ihres GTR experimentieren, indem sie Tangenten an verschiedenen Stellen an die Funktion legen. Mit diesem Ansatz kann in einem DGS auch der Graph der Ableitungsfunktion als Ortskurve gewonnen werden.
• Abschließend wird noch die Basis variiert. Dabei ergibt sich automatisch, dass für die Eulersche Zahl als Basis Funktion und Ableitungsfunktion übereinstimmen.
• Umkehrprobleme im Zusammenhang mit der natürlichen Exponentialfunktion werden genutzt, um den natürlichen Logarithmus zu definieren und damit auch alle Exponentialfunktionen auf die Basis e zurückzuführen. Mit Hilfe der schon bekannten Kettenregel können dann auch allgemeine Exponentialfunktionen abgeleitet werden.
• Im Zusammenhang mit der Modellierung von Wachstumsprozessen durch natürliche Exponentialfunktionen mit linearen Exponenten wird die Kettenregel eingeführt, um auch (hilfsmittelfrei) Ableitungen für die entsprechenden Funktionsterme bilden zu können.
• An mindestens einem Beispiel sollte auch ein beschränktes Wachstum untersucht werden.
• An Beispielen von Prozessen, bei denen das Wachstum erst zu- und dann wieder abnimmt (Medikamente, Fieber, Pflanzen), wird eine Modellierung durch Produkte von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen einschließlich deren Verhalten für betragsgroße Argumente erarbeitet.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Fettdruck und Kursivdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen, die über das Grundkursniveau hinausgehen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten verwenden.
  • Ich kann die Begriffe "Kriterium", "notwendiges Kriterium" und "hinreichendes Kriterium" in nichtmathematischen Sachverhalten erklären.
    • Der Bergriff "Kriterium" ist am besten mit "Erkennungsmerkmal", "Eigenschaft" oder "Bedingung" zu übersetzen.
    • Ein sogenanntes "notwendiges Kriterium" ist ein Erkennungsmerkmal, das für einen bestimmten Sachverhalt zwar notwendig ist, aber nicht ausreicht.
      • Beispiel:
      • Ein Fahrzeug muss einen Motor haben, damit es ein Auto ist. Ein "notwendiges Kriterium" für ein Auto lautet also: "muss einen Motor haben".
    • Wenn ein Fahrzeug nun einen Motor hat, dann muss es aber nicht zwangsläufig ein Auto sein, denn es kann ja auch ein Motorrad oder ein Schiff sein.
    • Das Kriterium "hat einen Motor" ist also keine ausreichende Bedingung. Anstatt "ausreichende Bedingung" sagt man in der Mathematik "hinreichende Bedingung" oder "hinreichendes Kriterium".
    • Wie aber lautet nun ein hinreichendes Kriterium dafür, dass ein Auto vorliegt?
      • Ein hinreichendes Kriterium für ein Auto wäre zum Beispiel:
      • Hat einen Motor und vier Räder.
      • Wenn ein Fahrzeug einen Motor und vier Räder hat, dann muss es ein Auto sein, denn ein Schiff het keine Räder und ein Motorrad hat zwei Räder.
      • Natürlich gibt es noch andere hinreichende Kriterien für ein Auto, wie zum Beispiel:
      • Hat einen Motor und wird von VW vertrieben.
      • Da VW weder Schiffe noch Motorräder verkauft, reicht dieses Kriterium aus, um zu beweisen, dass es sich um ein Auto handelt.
  • Ich kann die Definition für ein lokales Maximum einer Funktion f und für ein lokales Minimum einer Funktion f richtig benennen.
    • Die Funktion f sei auf einem Intervall I definiert. Der Funktionswert f(x₀) heißt
      • lokales Maximum von f, wenn es eine Umgebung U(x₀) gibt, so dass für alle Werte x aus der Schnittmenge von U(x₀) und I gilt: f(x) ≤ f(x₀).
      • lokales Minimum von f, wenn es eine Umgebung U(x₀) gibt, so dass für alle Werte x aus der Schnittmenge von U(x₀) und I gilt: f(x) ≥ f(x₀).
  • Ich kenne folgende Bezeichnung:
    • Ist der Funktionswert f(x₀) ein Maximum oder ein Minimum, nennt man ihn auch Extremwert und x₀ eine Extremstelle (Maximum- bzw. Minimumstelle).
  • Ich kenne die Bezeichnungen "globales Maximum", "globales Minimum" und "Randextremum".
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz (Notwendige Bedingung für innere Extremstellen) richtig benennen und anwenden.
    • Die Funktion f sei auf einem Intervall I differenzierbar und x₀ eine innere Stelle von I. Wenn f an der Stelle x₀ einen Extremwert hat, dann ist f '(x₀) = 0 .
  • Ich kenne folgende Verallgemeinerung: Statt zu sagen "Wenn A, dann B", sagt man auch "B ist notwendig für A".
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz (Erste hinreichende Bedingung für innere Extremstellen; Vorzeichenwechsel von f'(x)) richtig benennen und anwenden.
    • Die Funktion f sei auf einem Intervall I differenzierbar und x₀ eine innere Stelle von I. Wenn f '(x₀) = 0  ist und f '(x) für zunehmende Werte von x bei x₀ von
      • positiven zu negativen Werten wechselt (+/–)-VZW, dann hat die Funktion f ein lokales Maximum an der Stelle x₀.
      • negativen zu positiven Werten wechselt (–/+)-VZW, dann hat die Funktion f ein lokales Minimum an der Stelle x₀.
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz (Zweite hinreichende Bedingung für innere Extremstellen über die zweite Ableitung f ") richtig benennen und anwenden.
    • Die Funktion f sei auf einem Intervall I zweimal differenzierbar. Gilt für eine innere Stelle x₀ von I
      • f '(x₀) = 0 und f "(x₀) < 0 , dann hat die Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Maximum.
      • f '(x₀) = 0 und f "(x₀) > 0 , dann hat die Funktion f an der Stelle x₀ ein lokales Minimum.
  • Ich kenne folgende Verallgemeinerung: Statt zu sagen "Wenn A, dann B", sagt man auch "A ist hinreichend für B".
  • Ich kann das Verfahren zur Ermittlung aller Extremwerte einer Funktion f in einem Intervall I richtig anwenden.
    • Untersuche die Stellen, die sich als Lösung der Gleichung f '(x₀) = 0 ergeben.
    • Untersuche das Verhalten an den Randstellen von I.
  • Ich kenne den Begriff "Wendestelle".
    • Eine innere Stelle x₀ von einem Intevall I heißt Wendestelle einer Funktion f, wenn im zugehörigen Punkt W (x₀ |f(x₀)) der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht oder umgekerht.
  • Ich weiß, dass ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente Sattelpunkt heißt.
  • Ich kann den Zusammanhang erläutern, dass die Wendestellen einer Funktion lokale Extremstellen der Ableitungsfunktion f 'sind und als solche ermittelt werden können.
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz (Notwendige Bedingung für Wendestellen) richtig benennen und anwenden.
    • Die Funktion f sei auf einem Intervall I zweimal differenzierbar und x₀ eine innere Stelle von I. Wenn f an der Stelle x₀ eine Wendestelle hat, dann ist f "(x₀) = 0 .
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz (Erste hinreichende Bedingung für Wendestellen) richtig benennen und anwenden.
    • Die Funktion f sei auf einem Intervall I differenzierbar und x₀ eine innere Stelle von I. Wenn f "(x₀) = 0  ist und f "(x) bei x₀ einen Vorzeichenwechsel (VZW) hat, dann ist x₀ eine Wendestelle.
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz (Zweite hinreichende Bediungung für Wendestellen) richtig benennen und anwenden.
    • Die Funktion f sei auf einem Intervall I dreimal differenzierbar und x₀ eine innere Stelle von I. Wenn f "(x₀) = 0 und f '''(x₀) ≠ 0 ist, dann ist x₀ eine Wendestelle.

• Ich kann das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mithilfe der 2. Ableitung beschreiben.
  • Ich weiß, dass der zu einem Intervall I gehörende Graph einer differenzierbaren Funktion f Linkskurve heißt, wenn f ' streng monoton zunehmend ist.
  • Ich weiß, dass der zu einem Intervall I gehörende Graph einer differenzierbaren Funktion f Rechtskurve heißt, wenn f ' streng monoton abnehmend ist.
  • Ich weiß, dass sich nach dem Monotoniesatz das Krümmungsverhalten des Graphen daher mit der Ableitung f "von f '  (also mithilfe der 2. Ableitung) bestimmen lässt.
    • Gilt f "(x) > 0 in I, ist f 'monoton zunehmend; es liegt eine Linkskurve vor.
    • Gilt f "(x) < 0 in I, ist f 'monoton abnehmend; es liegt eine Rechtskurve vor.
  • Ich weiß, dass beim Übergang von einer Linkskurve in eine Rechtskurve die Tangentensteigung von zunehmenden Werten übergeht zu abnehmenden Werten. Daher hat die Ableitung f 'an einer solchen Stelle ein lokales Maximum.
  • Ich weiß, dass beim Übergang von einer Rechtskurve in eine Linkskurve die Tangentensteigung von abnehmenden Werten übergeht zu zunehmenden Werten. Daher hat die Ableitung f 'an einer solchen Stelle ein lokales Minimum.

• Ich kann Parameter von Funktionen im Kontext interpretieren und kann ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen untersuchen.

• Ich kann Parameter einer Funktion mit Hilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben, bestimmen ("Steckbriefaufgaben").
  • Ich weiß, dass eine Steckbriefaufgabe im wesentlichen das Gegenteil einer Kurvendiskussion ist. Aus gegebenen Charakteristika einer Funktion (Nullstellen, Extremstellen, Wendestellen, Tangentensteigungen etc) muss eine Funktionsgleichung hergeleitet werden.
  • Die Herangehensweise an Steckbriefprobleme ist im Grunde genommen für alle Probleme gleich. Nur die Art der Funktion (ganzrationale Funktion, Exponentialfunktion, etc) kann sich unterscheiden.
    • Schritt 1: Aufstellen der allgemeinen gesuchten Funktion
      • Wie oben beschrieben ist das Ziel einer Steckbriefaufgabe das Herleiten einer Funktion aus ihren gegebenen Charakteristika. Dazu muss aber zuerst einmal bekann sein, um was für eine Art von Funktion es sich handelt.
      • Ganzrationale Funktion n-ten Grades: f(x) = a_nxⁿ + ... a₁x + a₀
      • Exponentialfunktion: f(x) = b·a^x
    • Schritt 2: Herausfiltern der gegebenen Charakteristika der Funktion
      • Im zweiten Schritt ist es nun nötig, bestimmte Informationen aus dem Text zu entnehmen, die sich auf Charakteristika der Funktion beziehen. Beispielsweise könnte die Position eines Tiefpunktes gegeben sein. Daraus kann man folgern, dass die Ableitung der gesuchten Funktion an dieser Stelle 0 sein muss. Falls sogar die genaue Position (x- und y-Koordinate) gegeben sein sollten, hätte man somit auch noch die Information über den Funktionswert an dieser Stelle.
      • Es gilt folgende Merkregel über die Anzahl der Informationen für eine eindeutige Lösung:
        • Die Anzahl der verschiedenen Informationen, die für eine eindeutige Lösung des Problems benötigt werden, ist gleich der Anzahl der Unbekannten in der allgemeinen Funktionsgleichung, die dem Problem zugeordnet werden kann.
    • Schritt 3: Aufstellen und Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Mit Hilfe der allgemeinen Funktionsgleichung (und ihrer Albeitungen) lässt sich nun ein Gleichungssystem aufstellen, wobei jede Information in einer Gleichung verwertet wird.
      • Das entsprechende Gleichungssystem ist anschließend zu lösen.
      • Setzt man die gewonnenen Lösungen in die allgemeine Funktion ein, so erhält man die gesuchte Funktionsgleichung.
    • Schritt 4: Kontrolle des Ergebnisses
      • Die Kontrolle ist nötig, das nur notwendige Bedingungen bei der Aufstelllung des Gleichungssystems verwendet werden.
  • Speziell für die Bestimmung von ganzrationalen Funktionen gilt folgende Strategie:
    • Formulieren der gegebenen Bediungungen mithilfe von f, f ', f "usw.
    • Bei n+1 Bedingungen Ansetzen einer Funktion vom Grad n; Aufstellen des Gleichungssystems
    • Lösen des Gleichungssystems; Angabe der gefundenen Funktion
    • Kontrolle des Ergebnisses
    • Ist der Graph der gesuchten Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung, kann dies bereits beim Ansatz berücksichtigt werden. Hierdurch vereinfacht sich das Gleichungssystem.

• Ich kann die Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten bilden.
• Ich kann die Ableitungen von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis bilden.
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz richtig benennen und anwenden:
    • Die Exponentialfunktion f(x) = b^x hat die Ableitung f '(x) = ln(b) · b^x .
    • Beweis: f(x) = b^x = (e^ln(b))^x = e^{ln(b) · x} 

Daraus folgt mit der Kettenregel:  f '(x) = e^ln(b)·x · ln(b) = ln(b) · e^ln(b)·x = ln(b) · b^x .

• Ich kann die Ableitungen der natürlichen Exponentialfunktion bilden.
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz richtig benennen und anwenden:
    • Die natürliche Exponentialfunktion f mit f(x) = e^x hat die Ableitungsfunktion f 'mit f '(x) = e^x .
• Ich kann die Ableitung mit Hilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten.
• Ich kann Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurückführen.
• Ich kann die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen anwenden.
  • Beispiel:  f(x) = (x² + 2x) · e^1-x ; f '(x) = (–x² + 2) · e^1-x
  • Beispiel:  f(x) = ln(x³ + 2x) ; f '(x) = (3x² + 2) / (x³ + 2x)

• Ich kann die Eigenschaften von Exponentialfunktionen beschreiben und kann die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion begründen.
  • Ich kann folgende Zusammenhänge zwischen Exponentialfunktionen mit beliebigen Basen und Exponentialfunktionen mit der Zahl e (Eulersche Zahl) als Basis erläutern:
    • In Anwendungssituationen werden exponentielle Prozesse häufig durch Funktionsterme mit e als Basis beschrieben. Dass dies stets möglich ist, garantiert der folgende Satz:
      • Jede Exponentialfunktion der Form f(x) = b^x lässt sich mit der Basis e wie folgt darstellen: f(x) = e^{k · x} mit k = ln(b).
      • Beweis: f(x) = b^x = (e^ln(b))^x = e^{ln(b) · x} = e^{k · x} mit k = ln(b)
    • Mit diesem Satz lässt sich nun die Ableitung jeder Exponetialfunktion bestimmen:
      • Die Exponentialfunktion f(x) = b^x hat die Ableitung f '(x) = ln(b) · b^x .
      • Beweis: f(x) = b^x = (e^ln(b))^x = e^{ln(b) · x} 
        Daraus folgt mit der Kettenregel:  f '(x) = e^ln(b)·x · ln(b) = ln(b) · e^ln(b)·x = ln(b) · b^x .

• Die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion ist nun, dass gilt: ln(e) = 1 und sich die natürliche Exponentialfunktion beim Ableiten reproduziert. f(x) = e^x  ;  f '(x) = 1·e^x = e^x .

• Ich kann die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrung der natürlichen Exponentialfunktion nutzen.
  • Ich kann folgende Zusammenhänge über Umkehrfunktionen richtig erläutern und anwenden:
    • Wenn man zu einer gegebenen Funktion f: X → Y  eine Funktion f^–1 : D(f^–1) → X finden kann, so dass für alle x ∈ X gilt f^–1(f(x)) = x , dann nennt man f^–1 die Umkehrfunktion von f.
    • Die Funktion f^–1 ist auf der Bildmenge von f definiert und bildet auf den Definitionsbereich X von f ab.
    • Damit so eine Funktion f^–1 existiert, muss die Gleichung y = f(x) für jedes y ∈ f(X) eine eindeutige Lösung x besitzen. Eine Funktion f mit dieser Eigenschaft heißt injektiv. Eine Funktion y = f(x) heißt also umkehrbar, wenn aus x₁ ≠ x₂ folgt: f(x₁) ≠ f(x₂).
    • Allgemein lässt sich die Umkehrbarkeit einer Funktion f daran erkennen, dass jede Parallele zur x-Achse den Graphen von f höchstens einmal schneidet.
    • Das ist sicher der Fall, wenn f streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.
    • Beispiel:
      • f(x) = 2x + 3 ; g(x) = 0,5x – 3/2
      • Es ist g(f(x) = g(2x+3) = 0,5 · (2x+3) – 3/2 = x + 3/2 – 3/2 = x
      • g ist die Umkehrfunktion f^–1 von f.
  • Allgemein gilt: Die Graphen einer Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f^–1 liegen symmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden.
  • Bei gegebener Funktionsgleichung y = f(x) von f erhält man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion in zwei Schritten:
    • Schritt 1: Umstellen der Funktionsgleichung von x: x = f^–1(y).
    • Schritt 2: Vertauschen der Bezeichnung der Variablen (damit die abhängige und unabhänige Variable die übliche Bezeichnung erhalten): y = f^–1(x).
  • Ich kann die Umkehrfunktion von f: y = e^x bestimmen:
    • Schritt 1: Funktionsgleichung nach der Variablen x auflösen: f^–1: x = ln(y) = f^–1(y)
    • Schritt 2: Variablen x und y miteinander vertauschen:  f^–1: y = ln(x) = f^–1(x)
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz richtig benennen und anwenden:
    • Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion mit f(x) = ln(x) ist  f '(x) = 1/x .

• Ich kann Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen verwenden und vergleiche die Qualität der Modellierung exemplarisch mit einem begrenzten Wachstum.
  • Ich kann folgende Zusammenhänge richtig beschreiben und in Sachzusammenhängen anwenden:
    • Exponentielle Wachstums- oder Zerfallsprozesse können durch Funktionen f mit f(t) = c · a^t bzw. f(t) = c · e^k·t mit k = ln(a) beschrieben werden.
    • Dabei ist
      • c ∈ R der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0,
      • f(t) der Bestand zum Zeitpunkt t und
      • a der Wachstumsfaktor.
    • Für k > 0 heißt k Wachstumskonstante und f Wachstumsfunktion
    • Für k < 0 heißt k Zerfallskonstante und f Zerfallsfunktion.
    • Wird ein exponentieller Wachstums- oder Zerfallsprozess durch eine Funktion f mit f(t) = c · e^k·t , c > 0 , beschrieben, und ist p (p > 0) die prozentuale Zu- bzw. Abnahme pro Zeitschritt, so gilt:
      • Wachstumskonstante: k = ln (1 + p/100)
      • Zerfallskonstante: k = ln ( 1 – p/100)
      • Verdopplungszeit: T_V = ln(2)/k
      • Halbwertszeit: T_H = – ln(2)/k
  • Ich kann folgende Zusammenhänge über beschränktes Wachstum richtig erkläutern und in Sachzusammenhängen anwenden:
    • In der Natur gibt es Wachstumsvorgänge, die sich nicht exponentiell entwickeln können, weil dem Anwachsen oder Abnehmen des Bestandes eine natürliche Schrankte gesetzt ist. Man spricht von beschränktem Wachstum.
    • So können sich z.B. Seerosen nur so lange auf einem See ausbreiten, bis er vollständig damit bedeckt ist.
    • In vielen Fällen ist dabei die Zu- bzw. Abnahmen pro Zeiteinheit umso geringer, je mehr sich der momentane Bestand f(t) der Sättigungsgrenze S nähert, je kleiner also die Differenz |S – f(t)| ist.
    • Oft erscheint zur Modellierung die Annahme gerechtfertigt, dass die momentante Wachstumsgeschwindigkeit f '(t) proportional ist zur Differenz S – f(t).
    • Beschränktes Wachsen oder Fallen wird durch Funktionen der Form f mit f(t) = S – c · e^–k·t  mit k > 0,  S ∈ R beschrieben.
      • Bei c > 0 spricht man von beschränktem Wachsen,
      • bei c < 0 von beschränktem Fallen.
    • Beispiel für beschränktes Wachsen:
      • Eine Flüssigkeit hat im Kühlschrank eine Temperatur von 5°C. Nimmt man sie heraus und gießt sie in ein Glas, erwämrt sie sich allmählich auf die sie umgebende Raumtemperatur von z.B. 20°C. Der Temperaturunterschied u(t) zwischen Raum- und Flüssigkeitstemperatur nimmt im Laufe der Zeit nach dem newtonschen Erwärmungsgesetz exponentiell ab. Die zugehörige Funktion u hat die Form u(t) = 15 · e^–k·t mit k > 0.
        • Für die Temperatur f(t) der Flüssigkeit ergibt sich: f(t) = 20 – u(t) .
        • Die zugehörige Funktion f hat die Form f(t) = S – c · e^–k·t  mit k > 0.
        • Bei dieser Funktion f sind je nach der vorliegenden Situation die Parameter S, c bzw. k zu bestimmen.
        • S heißt Schranke des Wachstums. S ist in dem Beispiel die konstante Raumtemperatur 20°C.
        • Wegen f(0) = S – c · e^–k·0 gilt: c = S – f(0).  Aus f(0) = 5 folgt also: c = 20–5 = 15.
        • k wird mithilfe eines Wertepaares bestimmt.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke)

• Modellieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
  • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)
  • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
  • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
  • beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren)
  • beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren)
  • verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren)

• Problemlösen
  Die Schülerinnen und Schüler
  • finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Erkunden)
  • wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle …) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden)
  • setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen)
  • berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen)
  • vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren)

• Werkzeuge nutzen
  Die Schülerinnen und Schüler
  
  • Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
    • zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen
    • grafischen Messen von Steigungen
  • entscheiden situationsangemessen über den Einsatz mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge und wählen diese gezielt aus.