Schulinterner Lehrplan für das Fach
Mathematik - Voraussetzungen für eine erfolgreiche Mitarbeit in
der Sekundarstufe II |
I Lernbereich Algebra - Teil Mengenlehre
Die Schüler(innen)
- kennen die grundlegenden Zahlbereiche (N,
Z, Q
und R), können
gegebene Zahlen den Zahlbereichen zuordnen und die
Zahlbereiche durch Zahlbeispiele voneinander abgrenzen.
- können zwischen abgeschlossenen, offenen und halboffenen
Intervallen begrifflich unterscheiden und wissen, wie
Intervalle notiert werden (Beispiele: [-2;
3] , ]0; 1[
, [4; ∞[)
- kennen die aufzählende Form der Mengenbildung (Beispiel: {-1; 0; 1; 2}).
- kennen die beschreibende Form der Mengenbildung (Beispiel: {x ∈ R | x ist durch 7 teilbar}).
- kennen die Symbole für die Standard-Zahlenmengen (s. 1.)
- kennen die Symbole für Vereinigungs-, Durchschnitts- und
Differenzmengenbildung und können die zugehörigen
Mengenoperationen ausführen und zur Beschreibung von
Zahlenmengen einsetzen.
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II Lernbereich Algebra - Teil Arithmetik
Die Schüler(innen)
- können die vier Grundrechenarten mit rationalen Zahlen in
gewöhnlicher oder dezimaler Bruchdarstellung ohne
Taschenrechner sicher ausführen.
- können gewöhnliche Brüche durch Division in Dezimalbrüche
und abbrechende Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln.
- können regelgerecht Runden und zu einer gerundeten Zahl das
repräsentierte Intervall angeben.
- können den Wert rationaler Terme überschlagsmäßig im Kopf
bestimmen.
- können Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise notieren,
in den Taschenrechner oder eine Tabellenkalkulation eingeben
und vom Taschenrechner oder aus einer Tabellenkalkulation
ablesen.
- können Längen, Massen, Zeiten, Flächen und Volumina mit
geeigneten Einheiten sachgerecht darstellen und in verwandte
Maßeinheiten umwandeln.
- können im Rahmen einer proportionalen oder umgekehrt
proportionalen Zuordnung zwischen zwei Größen
Schlussrechnungen durchführen und sachgerecht (z.B. in
tabellarischer Form) darstellen.
- können eine (umgekehrt) proportionale Zuordnung durch eine
Gleichung der Form y = kx bzw. y = k/x beschreiben, den
Proportionalitätsfaktor k (einschließlich der zugehörigen
Maßeinheit) aus einem Wertepaar gewinnen und seine Bedeutung
kontextbezogen erläutern.
- können Prozentwert (W), Grundwert (G) und Prozentsatz (p) in
gebenen Sachzusammenhängen identifizieren und sowohl durch
Schlussrechnung als auch unter Anwendung der Basisformel p = W/G als Term notieren oder (z.B.
direkt mit dem Taschenrechner) berechnen.
- können prozentuale Zu- und Abnahmen im Sinne der Terme G(1+p) bzw. G(1–p)
umsetzen.
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III Lernbereich Algebra - Teil Terme
Die Schüler(innen)
- kennen die Begriffe Kommutativ- Assoziativ- und
Distributivgesetz sowie ihre algebraische Bedeutung und
Gültigkeitsbereiche und können diese Gesetze bei
Termumformungen sinnvoll einsetzen.
- können die grundlegenden Rechenregeln der Bruchrechnung bei
der Umformung von Termen einsetzen
(wichtige Beispiele: (a + b)/c = a/c +
b/c ; c(a/b) = (ca)/b = (c/b)a
; (a/b)/c = a/(bc) ; a/(b/c)
= (ac)/b)
- erkennen in einer Summe von Termen gemeinsame Faktoren und
können diese korrekt ausklammern.
- können einen Term der Form x2
+ px + q faktorisieren, falls er faktorisierbar
ist.
- kennen die Identitäten x-n
= 1/(xn) = (1/x)n ;
- kennen die Identitäten x-1
= 1/x ; x-2 = 1/(x2)
; √(x) = x1/2 ; x0 = 1
- können mit Potenzen mit rationalen Exponenten rechnen;
beherrschen insbesondere die beiden folgenden
Umformungen: (a/b)-n =
(b/a)n ; a/(bc-n)
= (acn)/b.
- wissen, dass Kürzen und Wurzelziehen aus Summanden
schwerwiegende Verstöße gegen das algebraische Regelwerk sind.
- können den Definitionsbereich eines einfachen Bruch-,
Wurzel-, Potenz- sowie Logarithmusterms bestimmen.
- kennen die Äquivalenz x = logb(y)
⟺ y = bx und können sie
situationsgerecht anwenden.
- kennen die Eulersche Zahl e und können beliebige Logarithmen
durch natürliche Logarithmen ausdrücken und auf diese Weise
mit dem Taschenrechner bestimmen.
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IV Lernbereich Algebra - Teil Gleichungen
Die Schüler(innen)
- können lineare Gleichungen auch mit Formvariablen (mit den
zugehörigen Fallunterscheidungen) lösen.
- können einfache Bruchgleichungen (z.B. Linsenformel,
Verhältnisgleichungen) auch mit Formvariablen lösen.
- können mit Hilfe der Diskriminante b2
- 4ac die Lösbarkeit einen quadratischen
Gleichung (auch einer Gleichung mit Formvariablen) der Form ax2 + bx + c = 0
untersuchen und die Lösungen der Gleichung angeben (Beispiel:
Auflösung der Oberflächenformel für einen Zylinder nach dem
Radius r).
- können mit Hilfe der Diskriminante Parameter einer
quadratischen Gleichung so bestimmen, dass die Gleichung genau
zwei (eine oder keine) Lösung(en) besitzt.
- können quadratische Gleichungen mit Hilfe eines geeigneten
Taschenrechners lösen.
- können einfache Exponentialgleichungen mit Hilfe von
Logarithmen lösen.
- können ein Gleichungssystem, das aus einfachen Gleichungen
verschiedener Kategorien besteht, durch Substitution lösen und
die Lösung in nachvollziehbarer Weise darstellen.
- können ein lineares Gleichungssystem auch mit Hilfe des
Additionsverfahrens lösen.
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V Lernbereich Koordinatengeometrie
Die Schüler(innen)
- wissen, dass Gleichungen in zwei Variablen (x und y)
Punktmengen in der Koordinatenebene beschreiben.
- wissen, dass Gleichungen in zwei Variablen Geraden
beschreiben, wenn die Variablen nur in erster Potenz
auftreten.
- wissen, dass eine gegebene Gerade durch eine
Funktionsgleichung der Form y = mx + n
beschrieben werden kann, wenn sie nicht parallel zu oder
identisch mit der Ordinate ist.
- wissen, dass eine Gerade durch eine Gleichung der Form x = a beschrieben werden
kann, wenn sie parallel zu oder identisch mit der Ordinate
ist.
- wissen, dass eine Gerade durch eine Gleichung der Form y = b beschrieben werden kann, wenn
sie parallel zu oder identisch mit der Abszisse ist.
- können die Funktionsgleichung einer Geraden (mit
angemessener Genauigkeit) aus einer Zeichnung ablesen.
- können eine durch eine Funktionsgleichung gegebene Gerade
mit Hilfe eines (angemessen großen) Steigungsdreiecks schnell
zeichnen.
- können die Gleichung einer Geraden sofort niederschreiben,
wenn die Koordinaten eines Geradenpunktes (x1;y1)
und die Steigung m bekannt sind [Punktsteigungsgleichung: y - y1 = m(x - x1)].
- können die Steigung einer Geraden mit Hilfe des
Koordinatendifferenzenquotienten zweier Geradenpunkte
berechnen.
- können für je zwei Punkte ihren Abstand mit Hilfe der
Euklidischen Abstandsformel berechnen.
- können, falls ein Punkt durch seine Koordinaten und ein
geometrisches Objekt durch seine Gleichung gegeben sind,
überprüfen, ob der Punkt zu diesem Objekt gehört [Punktprobe].
- können mit dem Punktprobenansatz eine fehlende Koordinate
eines Objektpunktes bestimmen, falls die Gleichung des
Objektes gegeben ist.
- können mit dem Punktprobenansatz einen fehlenden Parameter
einer Objektgleichung bestimmen, falls die Koordinaten eines
Objektpunktes gegeben sind.
- können, falls zwei geometrische Objekte durch ihre
Gleichungen gegeben sind, mit Hilfe des Schnittpunktansatzes
[Aufstellen und Lösen eines Gleichungssystems mit den
Variablen x und y durch Substitution] die Koordinaten der
gemeinsamen Punkte dieser Objekte bestimmen.
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VI Lernbereich Funktionen
Die Schüler(innen)
- können eine Funktion modellhaft als Werteproduzentin
beschreiben.
- zwischen Argumenten und Funktionswerten unterscheiden.
- wissen, dass eine Funktion einem Argument genau einen
Funktionswert zuordnet.
- können mit Hilfe des Namens einer Funktion den Funktionswert
eines Arguments bezeichnen.
- können, falls eine Funktion durch einen Term gegeben ist,
diesen Term mit einer beliebigen Argumentvariablen notieren
und mit Hilfe des Namens der Funktion bezeichnen.
- können einen Variablenterm als Funktionsterm interpretieren
und unter Bezugnahme auf den Term Beschränkungen für die
Zulassung von Argumenten formulieren.
- können mit Hilfe des Funktionsterms zu einer vorgegebenen
Liste von Argumenten eine Wertetabelle erstellen.
- können in einen Funktionsterm (auch solche) Variablenterme
einsetzen (, die die Argumentvariable enthalten).
- können unter Verwendung einer gegebenen Wertetabelle den
Graphen einer Funktion plotten.
- können anhand eines Funktionsgraphen Zuordnungen zwischen
Argumenten und Funktionswerten illustrieren.
- können ein gegebenes geometrisches Objekt visuell
hinsichtlich der Funktionsgrapheneigenschaft überprüfen
(„Mentaler Vertikalentest“).
- können mit Hilfe eines gegebenen Funktionsterms f(x) die
Funktionsgleichung y = f(x)
des zugehörigen Funktionsgraphen notieren.
- wissen, wie aus einer impliziten Gleichung eines
Funktionsgraphen (z.B. 12x2
+ 3y = 6) der Term der Funktion durch Auflösen nach
der Wertevariablen ermittelt werden kann.
- wissen, wie die Zugehörigkeit eines Punktes zu einem
Funktionsgraphen mit Hilfe seiner Funktionsgleichung getestet
werden kann (Punktprobenansatz).
- wissen, wie die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen
berechnet werden können (Schnittpunktansatz über ein System
zweier Funktionsgleichungen) und können ihren Ansatz
begründen.
- kennen den Begriff Nullstelle einer Funktion und wissen, mit
welchem Ansatz Nullstellen berechnet werden können.
- kennen den Begriffe Ordinatenabschnitt eines Graphen und
wissen, mit welchem Ansatz dieser Wert berechnet werden
können.
- wissen, dass die Umkehrbarkeit einer Funktion davon abhängt,
dass jeder Funktionswert nur von genau einem Argument
herrührt.
- wissen, dass der Term der Umkehrfunktion einer umkehrbaren
Funktion durch Auflösung der Funktionsgleichung des Graphen
nach der Argumentvariablen ermittelt werden kann.
- können den Graphen der Umkehrfunktion einer Funktion
skizzieren, wenn der Graph der Funktion vorgegeben ist.
- wissen, das ein konstanter Funktionsterm eine
abszissenparallele Gerade als Graphen besitzt.
- wissen, dass ein linearer Funktionsterm einen geraden
Graphen erzeugt.
- können die Steigung (d.h. den Leitkoeffizienten) einer
linearen Funktion aus zwei Wertepaaren berechnen
(Differenzenquotient).
- wissen, dass ein quadratischer Funktionsterm einen
parabelförmigen Graphen erzeugt.
- können mit Hilfe des Terms einer quadratischen Funktion den
Scheitelpunkt ihres Graphen bestimmen.
- wissen das der Term x3 eine ursprungssymmetrische
Parabel erzeugt.
- wissen, dass der Term x-1 eine Hyperbel erzeugt,
die die Koordinatenachsen als Asymptoten besitzt.
- kennen die Graphen der Wurzelfunktionen x1/2 und
x1/3 und können ihre Abstammung von den Parabeln
erläutern.
- kennen die Graphen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
und ihre Haupteigenschaften.
- kennen die Graphen der Exponential- und
Logarithmusfunktionen zu den Basen 1/10,
1/e, 1/2, 2, e und 10 und ihre Haupteigenschaften
(Achsenschnittpunkte, Asymptoten, Monotonie).
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VII Lernbereich Geometrie - Teil Wissenschaftstheorie /
Formale Logik
Die Schüler(innen)
- wissen, dass ein mathematischer Lehrsatz Voraussetzungen und
eine Behauptung enthält.
- können einen mathematischen Lehrsatz in Wenn-Dann-Form
notieren und auf diese Weise die Voraussetzungen und die
Behauptung sprachlich voneinander trennen.
- wissen, dass zur Begründung oder zum Beweis eines
mathematischen Lehrsatzes weder Bestandteile der Behauptung
noch Folgerungen aus der Behauptung herangezogen werden
dürfen.
- können den Kehrsatz eines Lehrsatzes bilden.
- wissen, dass die Gültigkeit eines Kehrsatzes eigenständig
begründet werden muss.
- können Satz und Kehrsatz in einer Äquivalenz-Formulierung
zusammenfassen (Genau-Dann-Wenn-Satz).
- können aus einer Äquivalenzaussage einen mathematischen
Lehrsatz und seinen Kehrsatz zurückgewinnen.
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VIII Lernbereich Geometrie - Teil Grundlagen
Die Schüler(innen)
- haben eine Vorstellung von der geometrischen Ebene und dem
geometrischen Raum.
- haben eine Vorstellung von Parallelität und Orthogonalität.
- können Objekte in der Ebene oder im Raum als Punktmengen
verstehen.
- können Geraden, Halbgeraden (Strahlen) und Strecken
begrifflich unterscheiden und kennen ihre symbolischen
Bezeichnungsweisen.
- wissen, dass ein Winkel durch zwei Halbgeraden mit
gemeinsamem Anfangspunkt definiert wird und können die
Begriffe Schenkel und Scheitelpunkt zur Beschreibung eines
Winkels einsetzen.
- wissen, dass Winkel in der Regel gegen den Uhrzeigersinn
gemessen werden.
- kennen die Drei-Punkte-Form der Winkelbezeichnung (z.B. ∠ASB) und können entsprechend
benannte Winkel in einer gegebenen Figur identifizieren.
- kennen die Kurzform der Winkelbezeichnung mittels des
Scheitelpunktnamens (erforderlichenfalls unter Hinzunahme
eines Winkelfeldindexes) (z.B. Â1).
- können mit Hilfe des Geo-Dreiecks Winkel messen und Winkel
gegebener Größe zeichnen bzw. antragen
- können Summen und Differenzen von Winkeln berechnen, die
einen gemeinsamen Scheitelpunkt besitzen.
- kennen die Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel,
Stufenwinkel und Wechselwinkel und können die mit diesen
Begriffen verbundenen Winkelsätze anwenden.
- kennen den Begriff "parallel" und zwei Kriterien für die
Parallelität von Geraden (keine gemeinsamen Punkte / gleich
große Stufenwinkel an einer Transversalen).
- kennen den Begriff "orthogonal (rechtwinklig)", können
diesen von den Begriffen "lotrecht, senkrecht und waagerecht"
abgrenzen und kennen ein Kriterium für die Orthogonalität von
Geraden (vier gleich große Schnittwinkel).
- wissen, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180°
und die Summe der Innenwinkel eines Vierecks 360° beträgt, und
können diesen Sachverhalt bei der Berechnung von Winkeln
anwenden.
- wissen, dass in jedem Dreieck der längeren Seite stets der
größere Winkel gegenüberliegt.
- wissen, dass in einem Dreieck genau dann zwei Seiten gleich
lang sind, wenn es zwei gleich große Winkel hat.
- wissen, dass ein Dreieck genau dann gleichseitig ist, wenn
alle Winkel gleich groß (60°) sind.
- wissen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse
die längste der drei Seiten ist
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IX Lernbereich Geometrie - Teil Figurenlehre
Die Schüler(innen)
- können die gängigen Dreieckstypen (spitzwinklige,
rechtwinklige, stumpfwinklige, gleichschenklige und
gleichseitige) begrifflich unterscheiden.
- kennen die Kongruenzsätze für Dreiecke und können diese
anwenden.
- können Seitenhalbierende, Mittelsenkrechten,
Winkelhalbierende und Höhen eines Dreiecks begrifflich
unterscheiden.
- wissen, dass die Mittelsenkrechte einer Strecke die Menge
aller Punkte ist, die von den Endpunkten der Strecke gleichen
Abstand haben.
- können die gängigen Viereckstypen (Trapez, Drachen,
Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat) anhand der
Eigenschaften der Seiten und anhand der Eigenschaften der
Diagonalen unterscheiden.
- kennen die Symmetrieeigenschaften der gängigen
Viereckstypen.
- kennen regelmäßige Polygone und können können regelmäßige
Polygone über die Teilung des Mittelpunktswinkels herstellen.
- können die Lagebeziehungen, die ein Kreis und eine Gerade
zueinander einnehmen können, begrifflich unterscheiden.
- wissen, dass ein Winkel über einem Kreisdurchmesser genau
dann ein rechter Winkel ist, wenn sein Scheitel auf dem
Kreisrand liegt (Satz des Thales).
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X Lernbereich Geometrie - Teil Flächeninhaltslehre
Die Schüler(innen)
- können den Flächeninhalt der Grundfiguren Rechteck, Dreieck,
Parallelogramm und Trapez berechnen.
- wissen, dass Polygone zur Berechnung ihres Flächeninhalts in
Grundfiguren zerlegt werden dürfen.
- kennen die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises und
können diese in Berechnungsaufgaben anwenden.
- können den Flächeninhalt von Kreissektoren und -segmenten
berechnen.
- kennen Grad- und Bogenmaß von Winkeln und können die Maße
ineinander umrechnen.
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XI Lernbereich Geometrie - Teil Stereometrie
Die Schüler(innen)
- kennen die Grundkörper Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und
Kugel.
- können Volumen und Oberfläche dieser Körper berechnen.
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XII Lernbereich Geometrie - Teil Ähnlichkeitsgeometrie
Die Schüler(innen)
- kennen den Satz des Pythagoras und können ihn zur Berechnung
von Streckenlängen anwenden.
- kennen die beiden Strahlensätze und können diese bei der
Aufstellung von Streckenverhältnisgleichungen anwenden.
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XIII Lernbereich Geometrie - Teil Trigonometrie
Die Schüler(innen)
- können die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als
Werte der Winkelfunktionen sin, cos und tan ausdrücken.
- können mit Hilfe des Einheitskreises den Funktionswert einer
der Winkelfunktionen sin, cos und tan für beliebige reelle
Winkel im Grad- und im Bogenmaß graphisch darstellen.
- können mit Hilfe des Einheitskreises zu vorgegebenen
trigonometrischen Werten die (beiden) zugehörigen Winkel
darstellen.
- können mit Hilfe des Taschenrechners trigonometrische
Funktionswerte von Winkeln im Grad- und im Bogenmaß berechnen.
- können mit Hilfe des Taschenrechners die Winkel in dem
Intervall [0; 2π[ bestimmen, die zu einem gegebenen
trigonometrischen Wert gehören (Beispiel: sin(α)
= 0,72).
- kennen die Beziehungen sin2(α)
+ cos2(α) = 1 sowie tan(α)
= sin(α)/cos(α).
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